ｱ 方程式
①一次方程式
解法：係数に小数や分数がある場合には適当な数を掛けだり割ったりすることで、係数が最も簡単な整数になるようにします。
移項を使ってｘを含む項左辺(または右辺)に、含まない項を右辺(または左辺)にまとめ、ｘの係数の逆数を両辺に掛けます。括弧の 前にマイナスがついていて括弧内が引き算の場合は注意が必要です。
－２（３ｘ－５）＝－６X＋１０となります。
利用：何(一般的には求めなさいと言われているもの)をｘと定義するかが最も大切なことです。文字は一つしか使えないのでもう一方をｘを使った式で表すことが必要になります。等しい関係にある２つの数量を＝の左右に表します。方程式を解きます。という手順です。
問題のパターンには「和と差」「代金」「分配」「増減」「平均」「過不足」「規則性」「速さ」「割合」「濃度」「全体を１とする」のどざっと挙げただけでも１０以上あります。例題の解説を良く理解した上で、類題に自力で解けるようになるまで取り組みます。
②連立方程式
解法：２つの式を(ア)(イ)などと定義(名付け)します。
係数に小数や分数がある場合には、一次方程式と同様に係数が最も簡 単な整数になるように整理します。(ア)を整理した式を(ア)’とします。「代入法」と「加減法」のどちらが適しているかを判断します。
「加減法」なら(ア)’×３－(イ)’×４のようにどういう計算をしたのか を必ず書いていきます。
利用：最初に何(一般的には求めなさいと言われているもの)をX何(求めな さいと言われているもう一つもの)をYにするのかを定義します。
問題文を読んで等しい数量の関係を２つ見つけ、それぞれをｘ，ｙ の方程式で表す。
この２つ方程式を連立方程式として解く。
問題のパターンには「整数」「代金」「速さ」「割合」「濃度」に関する 問題などがあります。例題の解説を良く理解した上で、類題に自力で解 けるようになるまで取り組みます。
③二次方程式
記号を多く使うので、PDFファイルを貼り付けています。
ｲ 関数
ｘの値を決めるとｙの値も１つ決まるとき、ｙはｘの関数であるという。
変数、定数、変域などの意味をしっかりと理解することが大切です。
①正･反比例
比例：ｙ＝ａｘ(ａは０でない定数)
反比例：ｙ＝(ａは比例定数)
比例の式の求め方
ｙ＝ａｘとおく。与えられているｘとｙの値をこの式に代入しａを求め、
ｘ＝２，ｙ＝８なら ８＝２ａ → ａ＝４
これをｙ＝ａｘのａに代入すればよい。
ｙ＝４ｘ(これが求める比例式)
比例のグラフ：原点Ｏ(０，０)を通る直線となる
ａ＞０のとき、右上がりの直線
ａ＜０のとき、右下がりの直線
グラフの書き方：対応する１組みのｘ，ｙの値を求め、点(ｘ，ｙ)をとる。
点(ｘ，ｙ)と原点Ｏ(０，０)通る直線を引く
利用の問題では、ｘ，ｙとも変域を考える必要があります。
グラフの読み取り：原点を通る直線は、必ず比例を表しています。
直線が通っている１つの点の座標を読み取る。
ｙ＝ａｘに、この点のｘ座標の値をｘにｙ座標の値をｙに代入し、ａの値を求める。
反比例の式の求め方
ｙ＝とおく。与えられているｘとｙの値をこの式に代入しａを求め、
ｘ＝２，ｙ＝８なら ８＝ → ａ＝１６
(ｙ＝ を変形して ｘｙ＝ａとしてそれに代入すると求めやすい)
これをｙ＝ のａ に代入すればよい。
ｙ＝ (これが求める反比例の式)
反比例のグラフ：原点Ｏに関して対称な、なめらかな曲線(双曲線)になる。
ａ＞０のとき、グラフは座標軸の右上と左下
ａ＜０のとき、グラフは座標軸の左上と右下
グラフの書き方：対応するｘ，ｙの値の組みを多数求め、点でとっていく。
これらの点をなめらかな曲線で結んでいく
グラフの読み取り：グラフが通っている１つの点の座標を読みとる。
ｙ＝ を変形して ｘｙ＝ａとしてそれに代入し
ａの値を求める。
②一次関数
ｙがｘの関数で、ｙがｘの１次式で表されるとき、ｙはｘの１次関数であるといいます。
１次関数は一般にｙ＝ａｘ＋ｂ(ａ，ｂは定数、ａ≠０)とあらわします。
ｂ＝０のとき、ｙ＝ａｘとなり比例を表します。比例は１次関数の特別な場場合ということになります。
水槽に一定の割合で水を入れる場合、入れ始めてからの時間をｘ分、たまった水の量をｙＬとすると、はじめから水がｂＬ入っていれば１次関数、入ってｂは０なので比例と言うことになります。
変化の割合：ｘの増加量に対するｙの増加量の割合
ｙの増加量
変化の割合＝────── ＝ａ(常に一定です)
ｘの増加量
１次関数のグラフ：１次関数ｙ＝ａｘ＋ｂのグラフは、比例ｙ＝ａｘのグラフをｙ軸の正の方向にｂだけ平行移動させた直線です。
ａが傾き(変化の割合)、ｂが切片(ｙ軸との交点)
ａ＞０のとき、右上がりの直線(比例と同じです)
ａ＜０のとき、右下がりの直線(比例と同じです)
グラフの書き方：ｙ軸上の(ｏ．ｂ)をとり、(ｏ．ｂ)から右へ１、上へａ
だけ進んだ点をとる。この２点を通る直線をひく
直線の式の求め方：必ずｙ＝ａｘ＋ｂとおいてから
｢傾きと通る１点の座標が与えられている｣
傾きが２で、１点の座標が(１．４)なら、
ａ＝２だから、ａに２を代入し(ｙ＝２ｘ＋ｂ)、
上の式のｘに１をｙに４を代入する(４＝２＋ｂ→ｂ＝２)
求める直線の式は、ｙ＝２ｘ＋２
「切片と通る１点の座標が与えられている」
切片が－２で、１点の座標が(－２．４)なら、
ｂ＝－２だから、ｂに－２を代入し(ｙ＝ａｘ－２)
上の式のｘに－２をｙに４を代入する(４＝－２ａ－２→ａ＝－３)
求める直線の式は、ｙ＝－３ｘ－２
｢通る２点の座標が与えられている｣
点(１，３)と点(２，５)を通るなら
点(１，３)を通るから、ｘに１、ｙに３を代入し(３＝ａ＋ｂ)
点(２，５)を通るから、ｘに２、ｙに５を代入し(５＝２ａ＋ｂ)
上の２つの式を連立方程式として解き、ａ＝２，ｂ＝１
求める直線の式は、ｙ＝２ｘ＋１
「通る１点と平行な直線の式が与えられている」
点(２．－５)を通り、直線ｙ＝－２ｘ＋３と平行な直線
平行な直線と傾きが等しいから→ａ＝－２ (ｙ＝－２ｘ＋ｂ)
点(２．－５)を通るから、上の式にｘに２、ｙに－５を代入し
(－５＝－２×２＋ｂ→ｂ＝－１)
求める直線の式は、ｙ＝－２ｘ－１
２直線の交点の座標の求め方
２つの直線の式を組にした連立方程式を解いて求めます。
グラフが問題に書かれている場合には、グラフ上で傾きを読み取ります。
(一方からもう一方の式を引けばｂが消去されａだけの式になります)
グラフ上の任意のの２点の座標から傾きを読み取る
ｘの増加量は右の点のｘ座標から左の点のｘ座標を引く
ｙの増加量は上の点のｙ座標から下の点のｙ座標を引く
例えば、点(１，３)と点(－２，１)なら
ｙの増加量 ３－(－１) ４
変化の割合＝────── ＝────── ＝─── ＝傾き(ａ)
ｘの増加量 １－(－２) ３
傾き(ａ)をどちらかの直線の式に代入して切片(ｂ)を求めます。
１次関数のグラフと図形
「直線と三角形の面積」
２直線の交点の座標の求め方(上記)で３点の座標を求め
三角形の底辺や高さの長さを３点の座標から読み取る
「三角形の面積の２等分線」
点Ａを通り、△ＡＢＣの面積をの２等分する直線の式を求める
点Ａ以外の２点を結んだ線分ＢＣの中点をＭとし、
中点の座標は、Ｂ(－５，－３)，Ｃ(３，１)の場合なら
(－５＋３)，(－３＋１)
Ｍ─────────── → Ｍ(－１，－１)
２ ２
ＡとＭを結んだ直線(直線ＡＭ)の式を求めればよい。
１次関数の利用
「ばねばかりにｘｇのおもりを下げたときのバネの長さをｙ㎝とする」
「水量の変化１次関数」
水がｂＬ入っている水槽に、毎分ａＬの割合で水を入れていったときのｘ分後の水の量をｙＬとする」
グラフが与えられていて、水量の増減から１次関数の式を導き出す。
「速さと１次関数」
グラフが与えられていて、ある時間内の速さを読み取る。
遅れて出発した方が、何時追いつくか。時刻(時間)と距離を求める。
「点の移動と１次関数」
点Ｐが長方形ＡＢＣＤ上を一定の速さで動くとき、ｘ秒後の△ＡＰＤの面積をｙ㎠ とするときのｘとｙの関係を式で表す。
場合分けをして考えます。
点ＰがＡＢ上、ＢＣ上、ＣＤ上を動くときのそれぞれの
ｘとｙの変域と関係を表す式(１次関数)を求める
③y=ax2 (yはx2 に比例する関数)
(X2はXの2乗を意味します。以下文字の右の数字は指数を表すこととして呼んでください。)
ｘの値がｎ倍になるとそれに対応するｙの値はｎの２乗倍になる。
「比例定数の求め方」
正比例と同じだが、y=ax2 の式にｘとｙの値を代入して求める。
「y=ax2 のグラフ」
放物線と呼ばれる曲線となる。
原点を通り、ｙ軸について対称となる。
ａ＞０のときは、上に開き、ａ＜０のときは、下に開く。
ａの絶対値が大きいほど、放物線はｙ軸に近づく(幅が小さくなる)
「y=ax2 のグラフとｙの変域」
ｘの変域が０をまたがなければ、ｙの変域は、ｘの最小値・最大値を代入して得られた値となる。
ｘの変域が０をまたぐときには、
ａ＞０ならば、ｙの最小値は０、最大値はｘの変域の絶対値が大きい方を代入した値となる。
ａ＜０ならば、ｙの最大値は０、最小値はｘの変域の絶対値が大きい方を代入した値となる。
「関数の変化の割合」
y=ax2 では変化の割合は、ｘの範囲によって刻々と変化する。
【具体例】y=２x2で
ｘ値が１から３まで増加するときの変化の割合
ｙの増加量 １８－２ １６
変化の割合＝──────＝────＝── ＝８
ｘの増加量 ３－１ ２
(～までの値から～からの値を引く)
y=ax2 で、ｘ値がｐからｑまで増加するときの変化の割合は
ａ(ｐ＋ｑ)となる(これを覚えておくと計算が楽になります。)
上の例では、ａ＝２，ｐ＝１，ｑ＝３だから
２(１＋３)＝２×４＝８ と簡単に求められます。
「２乗に比例する関数と図形」
放物線 y=ax2 と直線ｙ＝ｍｘ＋ｎの交点の座標
交点の座標を求めるのだから、上の２つの式の連立方程式を解 けばよい。
左辺は両方の式ともｙなので右辺どおしを＝で結んで２次方程 式とする。
ax2 ＝ ｍｘ＋ｎ → ax2 －ｍｘ＋ｎ＝０
【具体例】放物線 y=x2 と直線ｙ＝ｘ＋２の交点の座標
x2 ＝ｘ＋２ → x2 －ｘ－２＝０ ｘ＝－１，２
ｘ＝－１をどちらかに代入してｙ＝１ (－１，１)
ｘ＝２をどちらかに代入してｙ＝４ (２，４)
「放物線と図形」
【具体例】放物線 y=x2 の上に点Ａ，Ｂが、と放物線 y= x2 の上に点Ｃ，Ｄをとり、
４辺が座標軸に平行であるような長方形ＡＢＣＤをつくる。四角形ＡＢＣＤが正方形になるときの点Ａ
の座標を求めよ。
解法：点Ａのｘ座標をａとするとy=x2 の上あるからy座標は
ａ２ となり、Ａ(ａ，ａ２ )。点ＢはＡとｙ軸について対称
だからｙ座標はＡとひとしくなり、Ｂ(－ａ，ａ２ )
ＡＢ＝ａ－(－ａ)＝２ａ (前述の通り右から左を引く)
点Ｄのｘ座標はＡと同じだからａ、ｙ座標はy= x2 の上
にあるからａ２ となり、Ｄ(ａ，ａ２ )
ＡＤ＝ａ２ －ａ２ ＝ ａ２
ＡＢ＝ＡＤならば正方形になるから ２ａ＝ ａ２ ３ａ２ －８ａ＝０ ａ＝０，
ａ＞０だから ａ＝
「放物線と三角形の面積」
放物線y=ax2 と直線ｙ＝ｍｘ＋ｎの２つの交点Ａ，Ｂと原点Ｏ
を結んでできる△ＡＢＯの面積を求める問題
【具体例】点ＡとＢの座標が与えられていれば、どちらかの点の座標を
放物線y=ax2 に代入すれば比例定数ａを求めら れる。(式ア)
直線ｙ＝ｍｘ＋ｎに点ＡとＢの座標を代入した２の式の連立方程式を解くことでｍ，ｎ が決まり、直線ＡＢの式 も求められる。(式イ)
直線ＡＢとｙ軸との交点をＤとし、(Ｄのｙ座標はｎ)
△ＡＢＯ＝△ＡＤＯ＋△ＢＤＯ
ＯＤの長さは△ＡＤＯと△ＢＤＯ共通の底辺、
、 △ＡＤＯ＋△ＢＤＯ高さの和は点Ａ，Ｂのｘ軸の差となる
１
△ＡＢＯ＝── × ｎ×(△ＡＤＯ＋△ＢＤＯ高さの和)
２
【具体例】放物線y=ax2 と直線ｙ＝ｍｘ＋ｎの両者の
a ， ｍ ，ｎ が与えられていて、交点Ａ，Ｂの座標が分かっていない場合には、
放物線y=ax2 と直線ｙ＝ｍｘ＋ｎの連立方程式を解いて、点Ａ，Ｂ，Ｄの座標を求めれば、
その後は、上記具体れてと同じ解法で解くことができる。
ｳ 図形
図形を多く使うことになるので、現在準備中です。
①作図
準備中です。
②合同の証明
準備中です。
③相似
準備中です。
